Question

4．己知圆C：x²+y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0．
（1）若直线l与圆C相切，求t的值；
（2）若直线1与圆C相交于M、N两点，且|MN|=$\sqrt{14}$，求直线1在x轴上的截距；
（3）已知点A（2，1），问是否存在实数t，当1与圆C相交于M、N两点时MA⊥NA？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的圆心C（-1，0），半径r=2，圆心C（-1，0）到直线l：x+y+t=0的距离d=$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，由直线l与圆C相切，能求出t．
（2）求出圆心到直线l：x+y+t=0的距离，利用勾股定理，建立方程，求出t，即可求直线l在x轴上的截距；
（3）圆C：x²﹢y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，利用韦达定理，结合斜率公式，利用k_MA•k_MB=-1，即可得出结论

解答 解：（1）圆C：x²+y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，
圆C的圆心C（-1，0），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+12}$=2，
圆心C（-1，0）到直线l：x+y+t=0的距离d=$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，
∵直线l与圆C相切，
∴$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$=2，
解得t=1+2$\sqrt{2}$，或t=1-2$\sqrt{2}$．
（2）圆C：x²﹢y²+2x-3=0的圆心为（-1，0），半径为2，
圆心到直线l：x+y+t=0的距离为$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$，
∵|MN|=$\sqrt{14}$，
∴4-（$\frac{|t-1|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{14}{4}$，
∴t=2或0，
∴直线l的方程为x+y+2=0或x+y=0，
令y=0，可得直线l在x轴上的截距为-2或0．
（3）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
圆C：x²﹢y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，
∴x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-3}{2}$，
∴y₁+y₂=-t+1，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-2t-3}{2}$，
∵点A（2，1），MA⊥NA，
∴k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-2t-3}{2}+t-1+1}{\frac{{t}^{2}-3}{2}+2t+2+4}$=-1，
∴t²+2t+3=0，
∴△=4-12=-8＜0，
∴不存在t，使时MA⊥NA．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．