Question

14．下列命题中真命题的是（1）（2）（3）（4）  （写出所有真命题的序号）
（1）命题“若x=3，则x²-7x+12=0”及其逆命题，否命题，逆否命题中正确的有2个．
（2）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a²+4b²+9c²的最小值为12．
（3）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（4）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$．

Answer 1

分析 由互为逆否命题的两个命题共真假判断（1）；
利用柯西不等式求得a²+4b²+9c²的最小值判断（2）；
根据回归分析的定义可判断（3）；
在三角形中，由a+b＞c，得a+b-c＞0，则（a+b）（a+b-c）＞0，进一步a²+b²+2ab-ac-bc＞0，整理得[2（a+b）+1]（c+1）＜（a+b+1）（a+b+c+1），
不行可得$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$，得到（4）正确．

解答 解：对于（1），原命题“若x=3，则x²-7x+12=0”，则
其逆命题是“若x²-7x+12=0，则x=3”； 
否命题是“若x≠3，则x²-7x+12≠0”；
逆否命题是“若x²-7x+12≠0，则x≠3”．
当x=3时，x²-7x+12=0成立，即原命题正确，因此逆否命题也正确；
而x=4时，x²-7x+12=0成立，∴由x≠3，推不出x²-7x+12≠0，即否命题是错误的，因此逆命题也是错误的，
可知四个命题中，正确的命题有2个，故（1）正确；
对于（2），根据柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（2b）²+（3c）²]，
化简得6²≤3（a²+4b²+9c²），即36≤3（a²+4b²+9c²），∴a²+4b²+9c²≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=$\frac{2}{3}$时等号成立，由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=$\frac{2}{3}$时，a²+4b²+9c²的最小值为12，故（2）正确；
对于（3），根据回归分析的定义可知（3）正确；
对于（4），在△ABC中，∵a+b＞c，∴a+b-c＞0，则（a+b）（a+b-c）＞0，得a²+b²+2ab-ac-bc＞0，
∴[2（a+b）+1]（c+1）＜（a+b+1）（a+b+c+1），得$\frac{c+1}{a+b+c+1}$＜$\frac{a+b+1}{2（a+b）+1}$，故（4）正确．
∴真命题的是：（1）（2）（3）（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的应用，是中档题．