Question

2．设二次函数f（x）满足f（0）=-1，f（x）-2=0的两个根分别为-3，1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）图象恒在直线y=x+m上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由过定点和减2后的两个根得到解析式．
（2）由图象语言转化为数学语言，转化为恒成立问题．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=-1，
∴假设f（x）的解析式是f（x）=ax²+bx-1
∵f（x）-2=0的两个根分别为-3，1．
∴ax²+bx-3=0的两个根分别为-3，1．
∴a=1，b=2
∴f（x）的解析式是f（x）=x²+2x-1
（2）∵y=f（x）图象恒在直线y=x+m上方
等价于x²+2x-1-（x+m）＞0恒成立，
即m＜x²+x-1在区间[-1，1]上恒成立，
∵y=x²+x-1在区间[-1，1]上的最小值是-$\frac{5}{4}$
∴m＜-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查二次函数解析式的求解和转化思想．