【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线平行于
轴.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,
.
【答案】(1)递减区间为,递增区间为
.(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求得的导数,由题意可得
,解方程可得
,由导数与单调性的关系,结合
,可得
的单调区间;(2)讨论①当
时,求得
的最小值,可得结论成立;②当
时,设
,求出导数,构造函数
,求得导数,判断单调性,可得
最小值,即可得证.
试题解析:(1)因为,
,
依题意得,即
,解得
.
所以,显然
在
单调递增且
,
故当时,
;当
时,
.
所以的递减区间为
,递增区间为
.
(2)①当时,由(1)知,当
时,
取得最小值
.
又的最大值为
,故
.
②当时,设
,
所以,
令,
,则
,
当时,
,
,所以
,
当时,
,
,所以
,
所以当时,
,故
在
上单调递增,
又 ,所以当
时,
; 当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当时,
取得最小值
,
所以,即
.
综上,当
时,
.
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【题目】已知函数f(x)=log (x2﹣ax+b). (Ⅰ)若函数f(x)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞),求实数a,b的值;
(Ⅱ)若f(﹣2)=﹣3且f(x)在(﹣∞,﹣1]上为增函数,求实数b的取值范围.
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【题目】下列四组函数,两个函数相同的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=log33x , g(x)=
C.f(x)=( )2 , g(x)=|x|
D.f(x)=x,g(x)=x0
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【题目】某畜牧站为了考查某种新型药物预防动物疾病的效果,利用小白鼠进行试验,得到如下丢失数据的列联表
患病 | 未患病 | 总计 | |
没服用药 | 20 | 30 | 50 |
服用药 | 50 | ||
总计 | 100 |
设从没服用药的小白鼠中任取两只,未患病的动物数为,从服用药物的小白鼠中任取两只,未患病的动物数为
,得到如下比例关系:
(1)求出列联表中数据
,
,
,
的值
(2)是否有的把握认为药物有效?并说明理由
(参考公式:,当
时,有
的把握认为A与B有关;
时,有
的把握认为A与B有关.
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【题目】某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验,为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研,该种设备有甲乙两型产品,甲型价格是3000元/台,乙型价格是2000元/台,这两型产品使用寿命都至少是一年,甲型产品使用寿命低于2年的概率是,乙型产品使用寿命低于2年的概率是
.若某班设备在试验期内使用寿命到期,则需要再购买乙型产品更换.
(1)若该校购买甲型2台,乙型1台,求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率;
(2)该校有购买该种设备的两种方案, 方案:购买甲型3台;
方案:购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案,你认为该校应该选择哪种方案?
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【题目】下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.f(x)= ,g(x)=(
)2
B.f(x)=(x﹣1)0 , g(x)=1
C.f(x) ,g(x)=x+1
D.f(x)= ,g(t)=|t|
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【题目】人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0-25(分贝),并规定测试值在区间
为非常优秀,测试值在区间
为优秀.某班50名同学都进行了听力测试,所得测试值制成频率分布直方图:
(Ⅰ)现从听力等级为的同学中任意抽取出4人,记听力非常优秀的同学人数为
,求
的分布列与数学期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试,测试规则如下:四个音叉的发生情况不同,由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列,被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号,
,
,
(其中
,
,
,
为1,2,3,4的一个排列).若
为两次排序偏离程度的一种描述,
,求
的概率.
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【题目】本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每年每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,
;两小时以上且不超过三小时还车的概率为
,
;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙都在三到四小时内还车的概率和甲、乙两人所付租车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求
的分布列与数学期望
.
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【题目】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(Ⅰ) 求图中的值;
(Ⅱ) 已知满意度评分值在[90,100]内的男生数与女生数的比为2:1,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求所抽取的两人中至少有一名女生的概率.
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