Question

如图所示，曲线段OMB是函数f(x)＝x²(0＜x＜6)的图像，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M(t，f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q．

(1)试用t表示切线PQ的方程；

(2)试用t表示出△QAP的面积g(t)；若函数g(t)在(m，n)上单调递减，试求出m的最小值；

(3)若S_△QAP∈[，64]，试求出点P横坐标的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)设点M(t，t2)，又(x)＝2x， 　　∴过点M的切线PQ的斜率k＝2t， 　　∴切线PQ的方程为：y＝2tx－t2． 　　(2)由(1)可求得，P(，0)，Q(6，12t－t2)， 　　∴g(t)＝S△QAP＝(6－t)(12t－t2) 　　　  　＝－6t2＋36t(0＜t＜． 　　由于(t)＝－12t＋36，令(t)＜0，则4＜t＜12．考虑到0＜t＜6，∴4＜t＜6， 　　∴函数g(t)的单调递减区间是(4，6)，因此m的最小值为4． 　　(3)由(2)知，g(t)在区间(4，6)上递减，∴此时S△QAP∈(g(6)，g(4))＝(54，64)． 　　令(t)＞0，则0＜t＜4，∴g(t)在区间(0，4)上递增， 　　S△QAP∈(g(0)，g(4))＝(0，64)，又g(4)＝64，∴g(t)的值域为(0，64]．由≤g(t)≤64，得1≤t＜6． 　　∴≤＜3，∴点P的横坐标∈[，3)．