Question

若关于x的方程ax+

1

x2

=3的正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（　　）

A．a≤0

B．a≤1

C．a≤1或a=2

D．a≤0或a=2

Answer 1

由函数解析式可得：x≠0，
如果关于x的方程 ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax³-3x²+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解

3

满足要求；
②当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上单调递增，在（0，

2

a

）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=2a时，f（x）取到极小值0，x=

2

a

入原方程得到正数解a=2，满足要求；
③当a＜0时，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上单调递减，在（

2

a

，0）上单调递增，
函数的极大值f（0）=1＞0，f（x）=0有1正根，a＜0满足条件
综上可得a≤0，a=2
故选：D