Question

求函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先证明函数的单调性，用定义法，由于函数y=

2

x-1

在区间[2，6]上是减函数，故最大值在左端点取到，最小值在右端点取到，求出两个端点的值即可．

解答：解：设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数，
因此，函数y=

2

x-1

在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．

点评：本题考查函数的单调性，用单调性求最值是单调性的最重要的应用．