Question

8．（1）已知y=f（x）的定义域为[0，2]，求：①f（x²）；②f（|2x-1|）；③f（$\sqrt{x-2}$）的定义域．
（2）已知函数f（x²-1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域；
（3）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（2x-1）的定义域；
（4）已知函数f（x+1）的定义域为[-2，3]，求f（$\frac{1}{x}$+2）的定义域；
（5）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求g（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域；
（6）已知函数f（x）的定义域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，求F（x）=f（ax）+f（$\frac{x}{a}$）（a＞0）的定义域．

Answer 1

分析 分别根据函数成立的条件求函数的定义即可．

解答 解：（1）已知y=f（x）的定义域为[0，2]，
则①由0≤x²≤2得0≤x≤$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$≤x≤0，即函数的定义域为{x|0≤x≤$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$≤x≤0}．
②由0≤|2x-1|≤2得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，即函数的定义域为{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}．
③由0≤$\sqrt{x-2}$≤2得2≤x≤6，即函数的定义域为{x|2≤x≤6}．
（2）已知函数f（x²-1）的定义域为[0，1]，
则0≤x≤1，则0≤x²≤1，-1≤x²-1≤0，
即f（x）的定义域为[-1，0]；
（3）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），
则0＜x＜1，则1＜2x+1＜3，
即f（x）的定义域为（1，3）；
由1＜2x-1＜3，得1＜x＜2，即f（2x-1）的定义域为（1，2）；
（4）已知函数f（x+1）的定义域为[-2，3]，
则-2≤x≤3，则-1≤x+1≤4，
由-1≤$\frac{1}{x}$+2≤4，得-3≤$\frac{1}{x}$≤2，
解得x≥$\frac{1}{2}$或x≤$-\frac{1}{3}$，
即f（$\frac{1}{x}$+2）的定义域是{x|x≥$\frac{1}{2}$或x≤$-\frac{1}{3}$}；
（5）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，
则0≤x≤1，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-m≤x≤1-m}\\{m≤x≤1+m}\end{array}\right.$，
∵m＞0，
∴当1-m=m时，即m=$\frac{1}{2}$时，
此时x=$\frac{1}{2}$，
若0$＜m＜\frac{1}{2}$，则m≤x≤1-m，
若m$＞\frac{1}{2}$，则不等式无解．
∴当0$＜m＜\frac{1}{2}$时，函数的定义域为[m，1-m]，
当m=$\frac{1}{2}$时，函数的定义域为{$\frac{1}{2}$}，
当m$＞\frac{1}{2}$时，函数定义域为空集，此时不成立，舍去．
综上：故当0$＜m＜\frac{1}{2}$时，函数的定义域为[m，1-m]，
当m=$\frac{1}{2}$时，函数的定义域为{$\frac{1}{2}$}．
（6）设μ₁=ax，μ₂=$\frac{x}{a}$，其中a＞0，
则F（x）=f（μ₁）+f（μ₂）且μ₁、μ₂∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤ax≤\frac{3}{2}}\\{-\frac{1}{2}≤\frac{x}{a}≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}≤x≤\frac{3}{2a}}\\{-\frac{a}{2}≤x≤\frac{3}{2}a}\end{array}\right.$
①当a≥1时，$-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2a}，\frac{3}{2a}≤\frac{3}{2}a$，故不等式组的解为-$\frac{1}{2a}$≤x≤$\frac{3}{2a}$；
②当0＜a＜1时，$-\frac{a}{2}≥-\frac{1}{2a}，\frac{3}{2a}≥\frac{3}{2}a$不等式组的解为-$\frac{a}{2}$≤x≤$\frac{3a}{2}$．
∴当a≥1时，F（x）的定义域为[-$\frac{1}{2a}$，$\frac{3}{2a}$]；
当0＜a＜1时，F（x）的定义域为[-$\frac{a}{2}$，$\frac{3a}{2}$]．

点评 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．