Question

19．已知直线y=a与曲线y=2（x-1）和y=x+e^x的交点分别为A，B，则线段|AB|的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2（x₁-1）=x₂+ex²，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），
则2（x₁-1）=x₂+ex²，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+ex²）+1，
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-ex²）-1|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x）-1，
则y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为-$\frac{3}{2}$，
所以|AB|的最小值为$\frac{3}{2}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．