Question

7．设$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{c}$=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求sin$\frac{α-β}{8}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的夹角公式求得θ₁和θ₂的值，再根据θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，可得 $\frac{α-β}{8}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$，再利用两角差的正弦公式求得sin$\frac{α-β}{8}$=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：由题意可得cosθ₁=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1+cosα}{\sqrt{2+2cosα}}$=$\sqrt{\frac{1+cosα}{2}}$=cos$\frac{α}{2}$，α∈（0，π），∴θ₁=$\frac{α}{2}$．
cosθ₂=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-cosβ}{\sqrt{2-2cosβ}}$=$\sqrt{\frac{1-cosβ}{2}}$=sin$\frac{β}{2}$=cos（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$），β∈（π，2π），∴θ₂=$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$．
再根据θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，可得 $\frac{α-β}{2}$=-$\frac{π}{3}$，∴$\frac{α-β}{8}$=-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$，
∴sin$\frac{α-β}{8}$=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．