Question

14．在抛物线y=x²上取不同的两点A_n（a_n，a_n²），A_n+1（a_n+1，a_n+1²），若A_nA_n+1的斜率为2^-n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的前2n项和；
（2）是否存在a₁，使得数列{a_n}（n∈N^*）是等差或等比数列，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和斜率公式可得2^-n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，化简得a_n+a_n+1=2^-n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，根据等比数列的前n项和公式求出数列{a_n}的前2n项和；
（2）假设存在a₁满足条件，设公差是d，公比是q，由等差、等比数列的通项公式化简a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，根据式子的特点求出a₁的值．

解答 解：（1）∵不同的两点A_n（a_n，a_n²），A_n+1（a_n+1，a_n+1²），且A_nA_n+1的斜率为2^-n，
∴2^-n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，则a_n+a_n+1=2^-n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{a_n}（n∈N^*）的前2n项和S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$；
（2）假设存在a₁，使得数列{a_n}（n∈N^*）是等差或等比数列，
设公差是d，公比是q，则a_n=a₁+（n-1）d或a_n=a₁•q^n-1，
代入a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$得，2a₁+（2n-1）d=$\frac{1}{{2}^{n}}$或a₁（q^n-1+qⁿ）=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
显然2a₁+（2n-1）d=$\frac{1}{{2}^{n}}$不成立，
化简a₁（q^n-1+qⁿ）=$\frac{1}{{2}^{n}}$可得，a₁=$\frac{1}{3}$、q=$\frac{1}{2}$，
所以存在a₁=$\frac{1}{3}$使得数列{a_n}（n∈N^*）是等比数列．

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，斜率公式等，考查化简、变形能力，属于中档题．