Question

15．若命题“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命题，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]
• C． （1，e${\;}^{\frac{π}{2}}$）
• D． [e${\;}^{\frac{π}{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=e^xsinx-kx，由于“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命题，可得f′（x）≥0恒成立，即可得出．

解答 解：令f（x）=e^xsinx-kx，∵“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命题，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）-k≥0恒成立，
∴k≤e^x（sinx+cosx）的最小值，
令g（x）=e^x（sinx+cosx），g′（x）=2e^xcosx≥0，∴函数g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]单调递增，
∴g（x）≥g（0）=1，即k≤1．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．