Question

已知函数f（x）=ln（1+ax）-x²（a＞0，x∈（0，1]）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式1+n2λ≥n2ln(1+

2

n

 )对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于0从而确定出函数f（x）的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域．
（II）先从不等式1+n2λ≥n2ln(1+

2

n

 )分离出参数λ，即λ≥ln(1+

2

n

)-

1

n2

，欲使此式恒成立，只须λ不小于右边函数式的最大值即可，对其求导数，研究函数的极值点，通过研究单调性从而确定出最大值，进而求出变量λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

1+ax

-2x（2分）
=

-2ax2-2x+a

1+ax

，
由-2ax²-2x+a=0，得x=

-1± 2a2+1

2a

．
∵a＞0，∴

-1- 2a2+1

2a

＜0，

-1+ 2a2+1

2a

＞0．
又∵

-1+ 2a2+1

2a

=

a

2a2+1 +1

＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为(0， 

2a2+1 -1

2a

)，递减区间为(

2a2+1 -1

2a

， 1)．（6分）

（Ⅱ）不等式可变为

1

n2

+λ≥ln(1+

2

n

)，即为λ≥ln(1+

2

n

)-

1

n2

．
设g(x)=ln(1+

2

x

)-

1

x2

（x≥1），g′(x)=

- 2 x2

1+ 2 x

+

2

x3

=

-2x2+2x+4

x3(x+2)

，
令g'（x）=0，得x=-1或x=2．（10分）
∵当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0．
∴当x=2时，g（x）取得最大值ln2-

1

4

．
因此，实数λ的取值范围是λ≥ln2-

1

4

．（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．