Question

 

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为的菱形，为锐角，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，且A₁B＝AB＝A A₁＝1．

（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁； 

（Ⅱ）求A₁到平面ABC的距离； 

（Ⅲ）求二面角B－AC－C₁的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）证明：作C₁O⊥AA₁，连接BO    ………………1分

∵菱形AA₁C₁C面积为， 又AA₁＝1

∴   ………………2分 

在△A₁ＯC₁中，AA₁=1

，为锐角

∴，又AA₁ = A₁C₁

∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁

∴O是AA₁的中点

又A₁B＝AB  ∴BO⊥AA₁           ………………3分

又C₁O∩BO = O．

∴AA₁⊥面BOC₁，………………4分      

又BC₁Ì面BOC₁．

∴AA₁⊥BC₁                             ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知C₁O⊥AA₁，BO⊥AA₁   

∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，

∴BO⊥平面AA₁C₁C，C₁OÌ平面AA₁C₁C

BO⊥C₁O

∴OA、OC₁、OB两两垂直，       ……………6分

以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则：

， ， ， ，．…………7分

，．      

设是平面ABC的一个法向量，  

则     即

令，则．    ………………………9分

设A₁到平面ABC的距离为d． ，

∴．     ………………10分 

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，……………11分

又平面ACC₁的一个法向量．          ………………12分

∴．          ………………13分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．               ……………14分