Question

已知函数y=log_a（3+2x-x²）．
（1）讨论此函数的单调性；
（2）当a=

1

2

时，求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由3+2x-x²＞0可得函数定义域：（-1，3），令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4由函数t在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，分0＜a＜1，a＞1两种情况讨论函数的单调性
（2）由t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈（-1，3）可得t∈（0，4]，当a=

1

2

时，结合复合函数的单调性可求函数 的值域

解答：（本题8分）
解：（1）由3+2x-x²＞0推出 定义域：（-1，3）（1分）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4∴t在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减
当0＜a＜1时，函数在（1，3）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； （2分）
当a＞1时，函数在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．（2分）
（2）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈（-1，3）∴t∈（0，4]，（2分）
当a=

1

2

时，y∈[-2，+∞）（1分）

点评：本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，注意对对数底数的讨论，解答本题时容易漏掉对对数真数的考虑是解题中最易出现的错误