Question

已知M是△ABC内的一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，

1

2

），则

1

2x

+

2

y

的最小值为

9

，此时f（M）=（

(

1

6

，

1

3

，

1

2

)

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式、三角形的面积公式，确定x+y=

1

2

，再利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴|

AB

||•

AC

|=4
∴S_△ABC=

1

2

|

AB

||•

AC

|sin30°=1
∵x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，f（M）=（x，y，

1

2

），
∴x+y=

1

2

∴

1

2x

+

2

y

=2（x+y）（

1

2x

+

2

y

）=2（

1

2

+2+

y

2x

+

2x

y

）≥2(

5

2

+2

y 2x • 2x y

=9
当且仅当

y

2x

=

2x

y

，即y=2x=

1

3

时，取等号，此时，

1

2x

+

2

y

的最小值为9，f（M）=(

1

6

，

1

3

，

1

2

)
故答案为：9，(

1

6

，

1

3

，

1

2

)

点评：本题考查向量知识的意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．