Question

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=

 

；
（2）定义f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

，则f（x，y，z）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：（1）先根据向量数量积的定义求出AB•AC，从而求出△ABC的面积，而△MBC，△MCA和△MAB的面积和即为△ABC的面积，即可求出所求；
（2）先在等式f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

两边同乘以x+y+z，然后利用均值不等式进行求解即可．

解答：解：（1）

AB

•

AC

=2

3

=AB•AC•cos30°
∴AB•AC=4，S△ABC=

1

2

AB•AC•sin30°=1=x+y+z
（2）∵1=x+y+z
∴f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

=（

1

x

+

4

y

+

9

z

）（x+y+z）
=1+4+9+

y

x

+

4x

y

+

z

x

+

9x

z

+

4z

y

+

9y

z

≥14+4+6+12=36，
故答案为：1，36

点评：本题主要考查了向量的应用，以及三角形的面积公式，同时考查了均值不等式的应用，属于基础题．