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    在面积为1的△PMN中，tanM=，tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.

    思路解析：建立适当的坐标系后,易得PM、PN的方程，则有了P点坐标，待定系数法可求椭圆方程；也可以解△PMN，得三边长后再建系求方程.

    解法一：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图所示.

    设所求椭圆方程为+=1(a＞b＞0).分别记 M、N点的坐标为(-c，0)、(c，0).

    由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=2得直线PM、PN的方程分别是

    y=（x+c），y=2（x-c）.

    联立解得即P(c，c).

    又S△MNP=|MN|·y=·2c·c=c2=1.

    ∴c=，从而点P为（，）.

    将点P的坐标代入椭圆方程,得

    +=1.                              ①

    由题意,得a2-c2=b2.

    ∴a2-=b2.②

    由①②联立得方程组

    解得a2=，b2=3.

    ∴椭圆的标准方程是+=1.

    解法二：同解法一，得c=，P(，).

    ∴|PM|=

    ==.

    ∴|PN|=（x-c）2+y2

    ==.

    ∴a=（|PM|+|PN|）=，从而b2=a2-c2=-=3.

    ∴椭圆方程为+=1.

    解法三：如图所示，过P作PQ⊥MN，PQ交MN的延长线于Q，

    ∵∠MNP=π-∠PNQ，

    ∴tan∠MNP=tan（π-∠PNQ）=-2.

    ∴tanPNQ=2.

    在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=.

    ∴PQ=2NQ，即NQ=PQ.

    同理,PQ=MQ，∴MQ=2PQ.∴MN=MQ-NQ=2PQ-PQ=PQ.

    ∵S△MNP=MN·PQ，∴·PQ·PQ=1.

    ∴PQ=.∴MQ=2PQ=，NQ=.

    ∴PM===，

    PN===，

    MN=PQ=·=.

    以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立如图所示的坐标系.

    设椭圆的标准方程是+=1（a＞b＞0）,

    则2a=|PM|+|PN|=+=,

    2c=|MN|=.

    ∴a=,c=.

    ∴b2=a2-c2=()2-()2=3.

    ∴椭圆的标准方程是+=1.


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