Question

计算由曲线y=x²+2，y=3x以及x=0，x=2围成图形的面积S．

Answer 1

分析：联解

y=x2+2 y=3x

方程组，得曲线y=x²+2与直线y=3x交于点A（1，3）和B（2，6）．因此将所求面积分成两个部分的和：S=

∫

1 0

(x2+2-3x)dx+

∫

2 1

(3x-x2-2) dx，然后利用定义分的计算公式，分别求出两个函数的原函数，最后代入数据可计算出它们的值，相加即得所求图形的面积S．

解答：解：首先，联解

y=x2+2 y=3x

，得

x=1 y=3

或

x=2 y=6

∴曲线y=x²+2与直线y=3x交于点A（1，3）和B（2，6）
所以所求面积为
S=

∫

1 0

(x2+2-3x)dx+

∫

2 1

(3x-x2-2) dx
=(

1

3

x3+2x-

3

2

x2+C1)

|

1 0

+(

3

2

x2- 

1

3

x3 -2x+C2)

|

2 1

  （其中C₁、C₂是常数）
=[(

1

3

•13+2-

3

2

•12+C1  )-C1]+[(

3

2

•22-

1

3

•23 -2•2+C2)-(

3

2

•12-

1

3

•13 -2•1+C2  )]
=1
因此，所求的面积为S=1

点评：本题以求四条曲线所围成的面积为例，着重考查了定积分在求曲边图形的面积中的应用的知识点，属于基础题，牢记定积分的计算公式，准确进行计算是解决本题的关键．