Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（1）若函数f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）把f（x）表示出来并化简，由f（x）=1-

3

及x的范围可求x值；
（2）由正弦函数的单调性及复合函数单调性的判断方法可求其单调增区间．

解答：解：（1）依题设得f（x）=2cos2x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1．
由2sin（2x+

π

6

）+1=1-

3

，得sin（2x+

π

6

）=-

3

2

．
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
得函数单调区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查平面向量的数量积运算及正弦函数的单调性问题，属基础题，要重视相关的基础知识基本方法的掌握．