Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=3，AB=$\sqrt{3}$，D是AB的中点，点E在BB₁上，B₁E=$\frac{1}{6}$BB₁，求证．
（Ⅰ）AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁，交B₁C于点F，连接DF，证明DF∥AC₁，即可证明AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）先证明A₁E⊥CD，A₁E⊥B₁D，即可证明A₁E⊥平面B₁CD，从而证明平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示，
连接BC₁，交B₁C于点F，连接DF，则F是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DF∥AC₁，
∵AC₁?平面B₁CD，DF?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB；
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，且交线为AB，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又A₁E?平面ABB₁A₁，
∴A₁E⊥CD；
∵矩形ABB₁A₁中，A₁B₁=AB=$\sqrt{3}$，BB₁=AA₁=3，
B₁E=$\frac{1}{6}$BB₁=$\frac{1}{2}$，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{{{A}_{1}B}_{1}}{{B}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{{B}_{1}E}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵∠A₁B₁E=∠B₁BD=90°，
∴△A₁B₁E∽△B₁BD，
∴∠B₁A₁E=∠BB₁D；
∴∠B₁A₁E+∠A₁B₁D=∠BB₁D+∠A₁B₁D=∠A₁B₁B=90°，
∴A₁E⊥B₁D；
∵CD∩B₁D=D，CD?平面B₁CD，B₁D?平面B₁CD，
∴A₁E⊥平面B₁CD；
∵A₁E?平面A₁C₁E，
∴平面A₁C₁E⊥平面B₁CD．

点评 本题考查了空间中的线面平行，线面垂直与面面垂直的判断与性质的应用问题，也考查了逻辑推理能力，是综合性题目．