(I )由条件得
,递写相减得a
n+1-a
n=1,由等差数列求得通项;(II)求出两边表达式证明相等;(III)数学归纳法或不等式证明。
解:(I)由题意,得
(n∈N*).
于是
,
两式相减,得
,
即a
n+1+a
n=(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n),
由题,a
n>0,a
n+1+a
n≠0,
得a
n+1-a
n=1,即{a
n}为公差为1的等差数列.
又由
,得a
1=1或a
1=0(舍去).
∴ a
n=1+(n-1)·1="n" (n∈N
*).……………………………………………5分
(II)证法一:由(I)知
,于是
,
于是当n≥2时,
=
=
=
=
=n(T
n-1). ……………………………10分
法二:①当n=2时,R
1=T
1=
=1,2(T
2-1)=2(
=1,
∴ n=2时,等式成立.
②假设n=k(k≥2)时,等式成立,即
,
当n=k+1时,
=
=
=
=
=
=
.
∴ 当n=k+1时,等式也成立.
综合①②知,原等式对n≥2,n∈N*均成立. …………………………10分
(III)由(I)知,
.
由分析法易知,
,
当k≥2时,
,∴
.即
.