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已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于,总有成等差数列.
(I )求数列{an}的通项an
(II)设数列的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为Rn,求证:时,
(III)对任意,试比较的大小
(I)an=1+(n-1)·1="n" (n∈N*).(2)略 (3)
(I )由条件得,递写相减得an+1-an=1,由等差数列求得通项;(II)求出两边表达式证明相等;(III)数学归纳法或不等式证明。
解:(I)由题意,得(n∈N*).
于是
两式相减,得
即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an),
由题,an>0,an+1+an≠0,
得an+1-an=1,即{an}为公差为1的等差数列.
又由,得a1=1或a1=0(舍去).
∴ an=1+(n-1)·1="n" (n∈N*).……………………………………………5分
(II)证法一:由(I)知,于是
于是当n≥2时,
=
=
=
==n(Tn-1).   ……………………………10分
法二:①当n=2时,R1=T1==1,2(T2-1)=2(=1,
∴ n=2时,等式成立.
②假设n=k(k≥2)时,等式成立,即
当n=k+1时,
==  = 
==  =
∴ 当n=k+1时,等式也成立.
综合①②知,原等式对n≥2,n∈N*均成立.  …………………………10分
(III)由(I)知,
由分析法易知,
当k≥2时,
,∴

.即
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