Question

从椭圆+=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F₁,其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB平行于OM.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若Q是椭圆上任意一点,F₂是右焦点,求∠F₁QF₂的取值范围;

(3)Q为椭圆上的点,当QF₂⊥AB时,延长QF₂与椭圆交于另一点P,若△F₁PQ的面积为20,求此时椭圆的方程.

Answer 1

解:(1)∵M点在椭圆上且MF₁⊥x轴,

∴M点坐标为(-c,).

又由AB∥OM,可知k_AB=k_OM,

∴.∴b=c,a=b.

∴e==.

(2)设|F₁Q|=r₁,|F₂Q|=r₂,则r₁+r₂=2a,r₁·r₂＞0,|F₁F₂|=2c,a²=2c²,

∴cos∠F₁QF₂=-1

=≥-1=0(当且仅当r₁=r₂=a时取等号).

故∠F₁QF₂∈［0,］.

(3)设直线PQ方程为y=(x-c).

∵a=b,∴y=(x-c).

因椭圆方程为x²+2y²=2c²,将PQ的方程代入椭圆方程中并整理得5x²-8cx+2c²=0.

∴|PQ|=.

设点F₁到PQ的距离为h,

则h=c.

∴=×c·c=c²=20,且c＞0.

∴c=5.于是b=c=5,a=b=5.

因此所求的椭圆方程为=1.