Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若函数g(x)=f(x)-

x

a

在区间（1，2）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，准确求出函数的导数是解决本题的关键，求函数的最值要研究函数在定义区间的单调性，通过函数的单调性解决本题；
（2）将函数在给定区间上不单调问题进行等价转化是解决本题的关键，即将原函数不单调问题转化为导函数在给定区间上有根问题，利用分离常数法解决本题．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故f_min（x）=f（1）=0．
（2）g(x)=f(x)-

x

a

=

1-x

ax

+lnx-

x

a

.g′(x)=-

1

ax2

+

1

x

-

1

a

=-

x2-ax+1

ax2

．
∵g（x）在（1，2）上不单调，
∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根．
即方程a=x+

1

x

在（1，2）有根，且无重根．
∴2＜a＜

5

2

．

点评：本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题，考查学生的转化与化归思想，求最值时候要注意研究函数的单调性，将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题，本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围，将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题，通过求函数的值域达到解决本题的目的．