Question

设f(x)=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′(x)的图像经过点(-2，0)，(，0)，如图所示，

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若对x∈[-3，3]都有f(x)≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=3ax²+2bx+c,且y=f′(x)的图像经过点(-2,0),(,0),

∴ 

∴f(x)=ax³+2ax²-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 

∴f(x)_极小值=f(-2)=a(-2)³+2a(-2)²-4a(-2)=-8,解得a=-1 

∴f(x)=-x³-2x²+4x 

(Ⅱ)要使对x∈[-3,3]都有f(x))m²-14m恒成立,只需f(x)_min≥m²-14m即可. 

由(Ⅰ)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(-2,)上单调递增,在(,3)上单调递减,且f(-2)=-8,f(3)=-3³-2× 3²+4×3=-33＜-8,∴f(x)_min=f(3)=-33 

-33≥m²-14m3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.