Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）当CF=CC₁时，求面BEF与底面ABCD所成二面角的正弦值；
（3）多面体AE-BCFB₁的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．

Answer 1

（1）证明：连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD…（1分），
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，AA₁⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴AA₁⊥BD…（2分），
∵AA₁∩AC=A，
∴BD⊥面AA₁C₁C…（3分），
∵EF?面AA₁C₁C，
∴BD⊥EF…（4分）．
（2）解：设AC∩BD=O，以O为原点，AC、BD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz…（5分），
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，侧面展开图是边长为8的正方形，
∴菱形ABCD的边长为2，棱柱侧棱长为8，
所以B（0，-，0），E（1，0，4）、F（1，0，2）…（6分），
设平面BEF的一个法向量为，则…（7分），
解得…（8分），
底面ABCD的一个法向量为，
设面SEF与底面ABCD所成二面角的大小为θ，
则|cosθ|==，=．…（9分）．
（3）解：多面体AE-BCFB₁是四棱锥B₁-AEFC和三棱锥B₁-ABC的组合体…（10分），
依题意，BB₁=8，AB=2…（11分），
BB₁是三棱锥B₁-ABC的高，BO是四棱锥B₁-AEFC的高…（12分），
所以V=…（13分），
=是常数…（14分）．
分析：（1）连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，所以AA₁⊥BD，BD⊥AA₁C₁C，由此能够证明BD⊥EF．
（2）设AC∩BD=O，以O为原点，AC、BD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，得B（0，-，0），E（1，0，4）、F（1，0，2），设平面BEF的一个法向量为，则，解得，底面ABCD的一个法向量为，由向量法能求出面SEF与底面ABCD所成二面角的大小．
（3）多面体AE-BCFB₁是四棱锥B₁-AEFC和三棱锥B₁-ABC的组合体，依题意，BB₁=8，AB=2，BB₁是三棱锥B₁-ABC的高，BO是四棱锥B₁-AEFC的高．由此能求出多面体AE-BCFB₁的体积V是常数．
点评：本题考查两直线垂直的证明、二面角的求法和棱锥体积的计算，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是空间几何知识体系不牢固．解题时要注意向量法的灵活运用．