Question

在极坐标系中，已知点A（2，π），B（2，），C是曲线p=2sinθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于________．

Answer 1

分析：把AB的极坐标化为直角坐标即 A（-2，0），B（-1，-），故AB==2，且AB的方程x+y+2=0．曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程可得它表示以C（0，1）为圆心，
半径等于1的圆，求出圆心到直线的距离为d，点C到直线的最小距离等于d-1，再由△ABC的面积的最小值等于 •AB•（d-1）求得结果．
解答：点A（2，π），B（2，）的直角坐标为 A（-2，0），B（-1，-），故AB==2，且AB的方程为 =，即 x+y+2=0．
曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，表示以C（0，1）为圆心，半径等于1的圆．
圆心到直线的距离为d==+，故点C到直线的最小距离等于d-1=（+-1）=，
故△ABC的面积的最小值等于 •AB•（d-1）=，
故答案为 ．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．