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    已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列f(an)满足a1＝2，(an+1－an)g(an)＋f(an)＝0．

    (1)

    是否存在常数c，使得数列｛an＋c｝成等比数列？并证明你的结论．

    (2)

    设bn＝3f(an)－［g(an+1)］2．，求数列｛bn｝的前n项和Sn．

    答案：
    解析：

    (1)

    　　解析：∵4(an+1－an)(an－1)＋(an－1)2＝0，∴(an－1)(4an+1－3an－1)＝0．

    　　∵a1＝2，∴an≠1，∴4an+1＝3an＋1．

    　　假设存在常数c，使｛an＋c｝成等比数列．

    　　则由＝＝＋为常数．∴c＝－1，

    　　∴存在常数c＝－1．使｛an－1｝成等比数列．

    (2)

    　　an－1＝，∴an＝＋1．

    　　从而bn＝3(an－1)2－［4(an+1－1)］2

    　　　　　＝3－，

    　　∴bn＝(－6)()2n+2，∴b1＝－6，q＝．

    　　∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝

    　　　＝－［1－()n］．

    　　点评：此题综合了数列与函数的知识，又是探索性问题．其解法具有一定的代表性．


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    科目：高中数学 来源：宜都一中2008届高三数学周练(5) 题型：044

    已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．

    (1)若a＝b＝1，求函数f(x)的单调递增区间；

    (2)若函数f(x)的导函数满足：当|x|≤1时，有恒成立，求函数f(x)的解析表达式；

    (3)若0＜a＜b，函数f(x)在x＝s和x＝t处取得极值，且a＋b＝，证明：与不可能垂直．

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    科目：高中数学 来源：天津一中2008－2009年高三年级三月考数学试卷(理) 题型：044

    已知f(x)＝(x∈R)，在区间[－1，1]上是增函数．

    (1)求实数a的值组成的集合A；

    (2)设关于x的方程f(x)＝的两个非零实根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    已知f(x)＝x+1，若f(x+1)的图象关于直线x＝2对称图象对应的函数为g(x)，则g(x)为( )


    1. A.
      6-x
    2. B.
      x-6
    3. C.
      x-2
    4. D.
      -x-2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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