Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$ cosx），$\overrightarrow{b}$=（-sinx，2sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]的最值及所对应的x值．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积求出f（x）的解析式，
（1）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值，从而求出函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及对应x的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$ cosx），$\overrightarrow{b}$=（-sinx，2sinx），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=-2×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1；
（1）根据正弦函数的图象与性质，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
所以当x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上取得最小值-$\frac{3}{2}$，
x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值0．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及正弦函数的图象与性质，是综合性题目．