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    如图所示，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(b＞r＞0)．

    (1)

    写出椭圆的方程，并求椭圆的焦点坐标及离心率

    (2)

    直线y＝k1x交椭圆于两点C(x1，y1)、D(x2，y2)(y2＞0)，直线y＝k2x交椭圆于两点G(x3，y3)、H(x4，y4)(y4＞0)，求证：＝

    (3)

    对于(2)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q，求证：｜OP｜＝｜OQ｜．(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)

    答案：
    解析：

    (1)

    解析：椭圆方程为＋＝1．焦点坐标为F1(－，r)，F2(，r)，离心率e＝．

    (2)

    　　将直线CD的方程y＝k1x代入椭圆方程，得b2x2＋a2(k1x－r)2＝a2b2，整理得(b2＋a2)x2－2k1a2rx＋(a2r2－a2b2)＝0．

    　　根据韦达定理，得x1＋x2＝，x1x2＝，

    　　所以＝．　　　　　　　　　　①

    　　将直线GH的方程y＝k2x代入椭圆方程，同理可得

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

    　　由①、②得＝＝．

    (3)

    　　如图所示，设点P(p，0)，点Q(p，0)，

    　　由D、P、H共线，得＝，解得p＝．

    　　由D、Q、G共线，同理可得q＝．

    　　由＝变形得－＝，

    　　即－＝，

    　　所以｜p｜＝｜q｜，即｜OP｜＝｜OQ｜．


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•茂名二模）如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    2
    		5
    5
    ，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练22练习卷（解析版） 题型：解答题

    如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

    (1)求该椭圆的离心率和标准方程;

    (2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.

     

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    科目：高中数学 来源：2011年湖南省六校高考数学模拟试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

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    科目：高中数学 来源：2010年广东省茂名市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

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