Question

已知点P(2，－1)，求：

(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；

(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；

(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)若所求直线斜率k不存在，

则过P的直线l：x＝2.

∵原点到l的距离为2，∴直线x＝2即为所求.

若l斜率存在，则设l：y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，

∴k＝，∴直线l：y＋1＝(x－2)，

即3x－4y－10＝0.

∴所求直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.

(2)由题设条件知，所求直线l与直线OP(O为原点)垂直时，过点P的直线与原点距离最大，且最大值|OP|＝，此时k_OP＝－，∴k_l＝2.

∴l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.

(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，

所以这样的直线不存在.