Question

在平面直角坐标系xOy中，若曲线x=

4-y2

上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：数形结合

分析：曲线x=

4-y2

表示圆x²+y²=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．

解答： 解：曲线x=

4-y2

表示圆x²+y²=4的右半部分，
直线y=x+b的斜率为1，（如图），
设A（0，2）到直线m的距离为1，可得

|0-2+b|

2

=1，
解得b=2-

2

，或b=2+

2

（舍去），
∴直线m的截距为2-

2

，
设直线l为圆的切线，则直线l的方程为x-y-2

2

=0
由n到l的距离为1可得

|b-(-2 2 )|

2

=1，
解方程可得b=-

2

，即直线n的截距为-

2

数形结合可得直线介于mn之间时符合题意，
∴b的取值范围为：（-

2

，2-

2

]
故答案为：（-

2

，2-

2

]

点评：本题考查点到直线的距离，涉及数形结合的思想，属中档题．