Question

（文）设x，y，z均为正数，且xy+z（x+y+z）=4-2

3

，则（x+z+1）（y+z+1）的最小值

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式

分析：由xy+z（x+y+z）=4-2

3

，可得（x+z）（y+z）=4-2

3

，（x+z+1）（y+z+1）=（x+z）（y+z）+（x+z）+（y+z）+1
≥4-2

3

+2

(x+z)(y+z)

+1，即可得出结论．

解答： 解：∵xy+z（x+y+z）=4-2

3

，
∴（x+z）（y+z）=4-2

3

，
∴（x+z+1）（y+z+1）=（x+z）（y+z）+（x+z）+（y+z）+1
≥4-2

3

+2

(x+z)(y+z)

+1=3，
当且仅当x+z=y+z=

3

-1时，（x+z+1）（y+z+1）的最小值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．