Question

在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin²B-

6

5

sinB+

9

25

=0．
（1）求sin（B+

π

4

）的值；
（2）若a=5，b=9，求cosA的值；
（3）若b=

7

，a+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据已知等式求得sinB的值，则cosB可求得，最后利用两角和公式求得sin（B+

π

4

）的值．
（2）通过正弦定理求得sinA的值，进而根据同角三角函数基本关系求得cosB的值．
（3）通过余弦定理和已知等式求得ac的值，最后根据三角形面积公式求得三角形的面积．

解答： 解：（1）由已知sin2B-

6

5

sinB+

9

25

=0，即(sinB-

3

5

)2=0，
所以sinB=

3

5

．
∵△ABC是锐角三角形，
∴cosB=

1-sin2B

=

4

5

∴sin(B+

π

4

)=sinBcos

π

4

+cosBsin

π

4

=

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

7 2

10

（2）由（1）知，sinB=

3

5

因为 a=5，b=9，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得sinA=

asinB

b

=

5× 3 5

9

=

1

3

∵△ABC是锐角三角形，
∴cosA=

1-sin2A

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．
（3）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB．                    
将cosB=

4

5

，b=

7

代入上式，整理得(a+c)2-

18

5

ac=7．     
因为 a+c=5，所以 ac=5．                                
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×

3

5

=

3

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．