Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，S_n与a_n关系是S_n=2a_n-3n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

Sn

3n+1

，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件求出a₁=3，a_n=2a_n-1+3，从而得到{a_n+3}是首项a₁+3=6，公比q=2的等比数列，由此能求出a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）b_n=

Sn

3n+1

=

6(2n-1)-3n

3n+1

=2•（

2

3

）ⁿ-

n+2

3n

，由此利用分组求和法能求出数列b_n的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n与a_n关系是S_n=2a_n-3n，
∴a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
∵S_n=2a_n-3n，∴S_n-1=2a_n-1-3（n-1），n≥2，
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-3，
∴a_n=2a_n-1+3，
a_n+3=2（a_n-1+3），
又a₁+3=6，
∴{a_n+3}是首项a₁+3=6，公比q=2的等比数列，
∴a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）S_n=2•（3•2ⁿ-3）-3n=6（2ⁿ-1）-3n，
∴b_n=

Sn

3n+1

=

6(2n-1)-3n

3n+1

=2•(

2

3

)n-

2

3n

-

n

3n

=2•（

2

3

）ⁿ-

n+2

3n

，
∵T_n=2[（

2

3

）+（

2

3

）²+…+（

2

3

）ⁿ]-（

3

3

+

4

32

+

5

33

+…+

n+2

3n

），
设S_n=

3

3

+

4

32

+

5

33

+…+

n+2

3n

，①
则

1

3

Sn=

3

32

+

4

33

+

5

34

+…+

n+2

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Sn=1+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n+2

3n+1

=1+

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+2

3n+1

=

7

6

-

1

2•3n

-

n+2

3n+1

，
∴S_n=

7

4

-

1

4×3n-1

-

n+2

2•3n

．
∴T_n=2×

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-S_n
=

9

4

-4×(

2

3

)n+

1

2•3n

+

n+2

3n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．