Question

包含甲在内的甲、乙、丙3个人练习传球，设传球n次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第n次仍传给甲，共有多少种不同的方法？为了解决上述问题，设传球n次，第n次仍传给甲的传球方法种数为a_n；设传球n次，第n次不传给甲的传球方法种数为b_n．根据以上假设回答下列问题：
（1）求出a₁，a₂，b₁的值；
（2）根据你的理解写出a_n+1与b_n的关系式；
（3）求a₅的值及通项公式a_n．

Answer 1

考点：进行简单的演绎推理

专题：应用题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）画出树状图，容易得出n=1时，球不在甲的手中a₁的值，同理求出a₂，b₁的值；
（2）通过树状图，得a₁，a₂，a₃，a₄，…；b₁，b₂，b₃，…；归纳、猜想出a_n+1=b_n；
（3）经过n次传球后球回到甲手中的传法有a_n种，经过（n-1）次传球后球回到甲手中的传法有a_n-1种，
根据（n-1）次传球一共有2^n-1次传法，求得a_n和a_n-1的关系，从而求出a_n与a₅．

解答： 解：（1）根据题意，做出树状图，
当n=1时，球不在甲的手中，∴a₁=0，
同理求出a₂=2，b₁=2；
（2）通过树状图，得a₁=0，a₂=2，a₃=2，a₄=6，…；
b₁=2，b₂=2，b₃=6，…；
归纳、猜想，得出a_n+1=b_n；
（3）根据题意，做出树状图，
注意第四次时，球不在甲那里；
分析可得，共有10种不同的传递方式；
∴a₅=10；
设经过n次传球后球回到甲手中的传法有a_n种．
则经过（n-1）次传球后球回到甲手中的传法有a_n-1种．
而（n-1）次传球一共有2^n-1次传法，
所以经过（n-1）次传球后球没有回到甲手中的传法有a_n=2^n-1-a_n-1，
∴a₂=2¹-a₁，a₃=2²-a₂=2²-2¹+a₁，…，
∴a_n=2^n-1-2^n-2+2^n-3-2^n-4+…，
∴a_n=

1

3

×2ⁿ+

2

3

×（-1）ⁿ．

点评：本题考查了数列的实际应用问题，解题时应利用树状图分析，解答，通过归纳、猜想，利用所学知识解决实际问题，是较难的题目．