Question

对于一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．则下列函数：①f（x）=x②f（x）=x²③f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）④f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函数”的是

①③④

（写出正确的序号）

Answer 1

分析：欲判断三个函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．

解答：解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
若f（x）=x由于f（a）+f（b）=a+b＞c=f（c），所以f（x）=x是“保三角形函数”．
对于f（x）=x²，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²为三边长，故f₃（x）不是“保三角形函数”．
对于f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

），∴

π

2

＞a+b＞c＞0，f（a）+f（b）=sina+sinb＞sinc=f（c）
所以f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函数”．
对于f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

），a≤c，b≤c，cosb＞cosc∴f（a）+f（b）=cosa+cosb＞cosc=f（c）
所以f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函数”．
故答案为：①③④

点评：要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．