Question

定义：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．下列函数：①f（x）=e^-x，②f（x）=sinx，③f(x)=

x2-1

，④f（x）=x²，其中在[1，+∞）有一个宽度为1的通道的函数的序号是

①③

．

Answer 1

分析：对于①，当x∈[1，+∞）时，确定函数的值域，0＜e-x≤

1

e

，故可知两条直线可取y=0，y=1；对于②，当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1；对于③，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

x2-1

，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-

2

，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[1，+∞），故可得结论．

解答：解：对于①，当x∈[1，+∞）时，0＜e-x≤

1

e

，故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；
对于②，当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

x2-1

，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-

2

，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
故答案为：①③

点评：本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是通过研究函数的性质，找出满足题意的直线．