Question

如图所示，过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，则△A′B′F的面积为

6

．

Answer 1

分析：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+

p

2

，代入抛物线方程，利用韦达定理，计算S_△AA'F，S_△BB'F，求出面积的积，利用四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7，建立方程，即可求得△A′B′F的面积．

解答：解：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+

p

2

，代入抛物线方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），则y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm
S_△AA'F=

1

2

|AA'|×|y₁|=

1

2

|x₁+

p

2

||y₁|=

1

2

（

y 2 1

2p

+

p

2

）|y₁|
S_△BB'F=

1

2

|BB'|×|y₂|=

1

2

|x₂+

p

2

||y₂|=

1

2

（

y 2 2

2p

+

p

2

）|y₂|
∴

1

2

（

y 2 1

2p

+

p

2

）|y₁|×

1

2

（

y 2 2

2p

+

p

2

）|y₂|=

p2

4

（

p2

2

+

y 2 1

4

+

y 2 2

4

）=

p4

4

（m²+1）
S_△A′B′F=

p

2

|y₁-y₂|=p2

m2+1

=S
∵四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7
∴

p4

4

（m²+1）=（15-S）（7-S）
∴

1

4

S²=（15-S）（7-S）
∴

3

4

S²-22S+105=0
∴S=6
故答案为：6

点评：本题考查抛物线的性质，考查面积的计算，解题的关键是正确求出三角形的面积，属于中档题．