Question

已知函数f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）在[0，+∞）上是减函数；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），知函数f（x）=

2x

4x+1

是偶函数．
（2）利用定义法能够证明f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）由f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，知f（x）_max=f（0），由此能求出结果．

解答：解：（1）∵f（x）=

2x

4x+1

，∴x∈R，
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），
∴函数f（x）=

2x

4x+1

是偶函数．
（2）在[0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1•4x2+2x1-2x2•4x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0≤x₁＜x₂．
∴

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）_max=f（0）=

1

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．