Question

（2009•长宁区一模）已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-

1

f(x)

，当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函数；
（2）求当x∈(

1

2

，1)时函数f（x）的解析式，并求x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时f（x）的解析式；
（3）当x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，解不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1．

Answer 1

分析：（1）根据f(x+1)=-

1

f(x)

与f（x+2）=f（x）可求出f（x）与f（-x）的关系，从而确定函数的奇偶性；
（2）当x∈(

1

2

，1)时，1-x∈(0，

1

2

)，代入已知解析式，从而求出所求，当x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(

1

2

，1)，代入已知解析式即可求出所求；
（3）将函数解析式代入，然后讨论两根的大小，从而求出不等式的解集．

解答：解：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(

1

2

，1)时，1-x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．    （7分）
而f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．      （9分）
当x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                  （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1
即为x-2k-1＞x²-（2k+2）x+2k+1，
即x²-（2k+3）x+2（2k+1）＜0，（13分）（x-2）[x-（2k+1）]＜0
当2k+1＜2即k＜

1

2

时，x∈（2k+1，2）与条件不符；  （14分）
当2k+1=2即k=

1

2

时，无解．            （15分）
当2k+1＞2即k＞

1

2

时，若2k+

1

2

≤2即k≤

3

4

时整数k不存在；（16分）
若2k+

1

2

＞2即k＞

3

4

时，x∈(2k+

1

2

，2k+1)．         （17分）
综上：k≥1时 x∈(2k+

1

2

，2k+1)，k＜1时x∈φ（18分）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及在给定区间上的解析式和不等式的解集等有关问题，属于中档题．