Question

（2009•长宁区一模）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求异面直线AB₁与CC₁所成角的大小；
（2）求多面体B₁-AA₁C₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）由条件B₁B∥C₁C，因此∠AB₁B即为异面直线AB₁与C₁C所成角再结合题中的条件以及解三角形的有关知识求解Rt△ABC，即可得到答案．
（2）由图可知，VB1-AA1C1C=VABC-A1B1C1-VB1-ABC，由条件得B₁B⊥平面ABC，再根据体积公式分别求两个几何体的条件，进而得到答案．

解答：解：（1）由条件B₁B||C₁C，因此∠AB₁B即为异面直线AB₁与C₁C所成角．（2分）
由条件得B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AB，B₁B=CC₁=a，
在Rt△ABC中，求出AB=

5

a．                           （4分）
∴tan∠AB1B=

AB

B1B

=

5

，
∴∠AB1B=arctan

5

．      （5分）
所以异面直线AB₁与C₁C所成角的大小为arctan

5

．        （6分）
（2）由图可知，VB1-AA1C1C=VABC-A1B1C1-VB1-ABC，（8分）
由条件得B₁B⊥平面ABC，
∴VABC-A1B1C1=S△ABC•B1B=a3，（10分）
VB1-ABC=

1

3

a3，（12分）
因此 VB1-AA1C1C=a3-

1

3

a3=

2

3

a3．（14分）

点评：本题主要考查了棱锥的体积公式，以及异面直线及其所成角，而解决空间角的步骤是：作角、证角、求角，熟练掌握几何体的结构特征是关键．