Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为边长为2的菱形，，，为的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接，交于点，连接，然后利用中位线定理和线面平行的判定定理证明即可；

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，先求出点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解．

解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接，则，因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则易知，，，，设,

因为，所以,

由，解得,即，

则，

则，

因为，，

设平面的一个法向量为,

则,取,则,

所以平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则．

【名师指导】

本题考查空间中直线与平面的平行关系、直线与平面所成角、空间法向量的应用．求空间角，常常建立空间直角坐标系，用空间向量法计算，可减少逻辑思维量，但对计算能力要求较高．