Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，无单调递增区间．（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据函数解析式，先求得导函数，利用，即可分析出的符号，即可判断函数的单调区间；

（Ⅱ）方法一：根据不等式，构造函数，求得导函数，再构造函数，并求得，由的符号可判断的单调性、零点与最小值，进而得的符号，即可判断的单调性，从而求得的最小值，即可证明不等式成立；方法二：构造函数，求得导函数可得的单调性与最值，从而可证明，结合（Ⅰ）可得，结合两式即可证明不等式成立.

（Ⅰ）函数，则定义域为，

，

，

，

，

，

（当且仅当时取等号），

的单调递减区间为，无单调递增区间．

（Ⅱ）证法一：令函数，

则

，

显然．

令函数，

则，

由（Ⅰ）知，

，

，

所以，

在上是增函数，

且，

当时，即，所以单调递减，

当时，即，所以单调递增．

的最小值为，

，

．

证法二：令函数，

定义域为，

，

函数在定义域上是增函数，

，

，①

又，②

①+②得，

即当时，．

另外，当时，

由（Ⅰ）可知函数在上是减函数，

，

．

综上，对.