【题目】已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数与
的图象有两个不同的交点
(i)求实数a的取值范围
(ii)求证:且
为自然对数的底数).
【答案】(1) 当时,函数
在
上单调递增;
当时, 函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)(i) (ii)证明见解析.
【解析】
(1),对
分类讨论:
,利用导数的正负号研究函数的单调性;
(2)(i)由(1)可知,当时
单调,不存在两个零点,当
时,可求得
有唯一极大值,令其大于零,可得到
的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;
(ii)构造函数,根据函数的单调性证明即可.
由题意知,所以
.
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,令
,解得
;
令,解得
;
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述:当时,函数
在
上单调递增;
当时, 函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)(i) 函数与
的图象有两个不同的交点
等价于函数
有两个不同的零点
,其中
.
由(1)知, 当时,函数
在
上单调递增;不可能有两个零点.
当时, 函数
在
上单调递增,在
上单调递减,此时
为函数
的最大值.
当时,
最多有一个零点,
所以,解得
此时,,且
,
.
令,
则,
所以在
上单调递增,
所以即
,
所以的取值范围是
.
(ii)因为在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,
,
所以,即
,所以
.
构造函数
,
则,
所以在
上单调递减,
又因为,
所以,
因为
所以,又
所以
由(1)知在
上单调递减得:
即
又因为,所以
即,
又因为,所以
所以.
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【题目】甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了”;乙说:“丙申请了”;丙说:“甲和丁都没有申请”;丁说:“乙申请了”,如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______.
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【题目】《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟四斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿4斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿了多少斗( )
A.B.
C.
D.
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【题目】设函数,其中
,
为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:函数
无零点;
(3)确定的所有可能取值,使得
在区间
内恒成立.
(4)数学题目虽然千变万化,有很多形式虽然陌生新颖,但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题,使新问题得以解决.因此,会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题(3)中的条件“在区间
内恒成立”变化为两种新形式(不作解答).
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【题目】近年来,我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇,但是电子商务行业由于缺乏监管,服务质量有待提高.某部门为了对本地的电商行业进行有效监管,调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额(单位:万元),得到如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些?
(2)如果日销售额超过平均销售额,相应的电商即被评为优,根据统计数据估计两家电商一个月(按30天计算)被评为优的天数各是多少.
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【题目】如图,四棱锥中,四边形
为正方形,
,
分别为
,
中点.
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(1)证明:平面
;
(2)已知,
,
,求三棱锥
的体积.
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【题目】已知函数,
.
(1)求 函数的单调区间;
(2)定义:对于函数,若存在
,使
成立,则称
为函数
的不动点. 如果函数
存在两个不同的不动点,求实数
的取值范围.
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【题目】小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如下表所示:
所需时间(分钟) | 30 | 40 | 50 | 60 |
线路一 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
线路二 | 0.3 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
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【题目】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第行的所有数字之和为
,若去除所有为1的项,依次构成数列
,则此数列的前55项和为( )
A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048
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