【题目】已知函数,.
(1)求 函数的单调区间;
(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为 ;(2).
【解析】
(1)先确定函数的定义域,再求导,讨论的取值,得到函数的单调区间;
(2)依题意可得,存在两个不动点,所以方程有两个实数根,即有两个解, 令,利用导数研究函数的单调性、极值,即可求出参数的取值范围;
解:(1)的定义域为,
对于函数,
①当时,在恒成立.
在恒成立.
在为增函数;
② 当时,由,得;
由,得;
在为增函数,在减函数.
综上,当时,的单调递增区间为
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
(2),
存在两个不动点,方程有两个实数根,即有两个解,
令,,
令,得,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
,
设,则,,即时,
将两边取指数,则
当时,
当时 ,
当时,有两个不同的不动点
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【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球表面积的最大值为____.
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【题目】闰月年指农历里有闰月的年份,比如2020年是闰月年,4月23日至5月22日为农历四月,5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年:农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日,日,回归年的总长度为365.2422日,两者相差10.875日.因此,每19年相差206.625日,约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年:
1640 | 1642 | 1645 | 1648 | 1651 | 1653 | 1656 |
1659 | 1661 | 1664 | 1667 | 1670 | 1672 | 1675 |
1678 | 1680 | 1 683 | 1686 | 1689 | 1691 | 1694 |
则从2020年至2049年,这30年间闰月年的个数为( )
A.10B.11C.12D.13
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【题目】已知点F为椭圆的右焦点,点A为椭圆的右顶点.
(1)求过点F、A且和直线相切的圆C的方程;
(2)过点F任作一条不与轴重合的直线,直线与椭圆交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线相交于点M,N.试证明:以线段MN为直径的圆恒过点F.
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【题目】已知圆的圆心为,点是圆内一个定点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径相交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)给定点,设直线不经过点且与轨迹相交于,两点,以线段为直径的圆过点.证明:直线过定点.
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