Question

【题目】已知函数在处取得极值.

（1）求，并求的单调区间；

（2）证明：当，时，.

Answer 1

【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据极值点可求出，根据导函数的正负求出单调区间；
（2）法一，由函数单调性可得变形可得，利用不等式的性质可放缩得到，构造函数可利用导数求最小值为0，即可得证；法二由函数单调性可得变形可得，由不等式性质可得，令，由导数可求出即可得证.

（1），由是极值点得，∴，

∴，∴，

由得，∴的单调递增区间为；

由得，∴的单调递减区间为.

（2）法一：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，

故，即，故.

∴，当且仅当时取等号，

∵，∴，

∴，

∵，∴，∵，∴，

令，∴，

由得，∴在上单调递增；

由得，∴在上单调递减，

∴，即在处取等号，

∴，

由于取等条件不同，∴.

法二：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，

故，即，∴，当且仅当时取等号，

∵，，∴，

令，，

由得，∴在上单调递增；

由得，∴在上单调递减，

∴，∴，

由于取等条件不同，故，整理得.