Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，左顶点为，右焦点为. 已知斜率为2的直线经过点，与椭圆相交于两点，且到直线的距离为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过的直线与直线分别相交于两点，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出，从而可得椭圆的标准方程.

（2）设，，联立直线和直线的方程可得的坐标，同理可得的坐标，根据可得的坐标关系，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率的值.

解：（1）设椭圆的焦距为，

则直线的方程为，即.

因为到直线的距离为，故，

所以，则.

因为椭圆的右准线的为直线，则，所以，，

故椭圆的标准方程为.

（2）由(1)知：，设，.

由得，则 .

由，可知，

由得，

同理.

因为，所以，

由图可知，

所以，

即，

所以

.