Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）在上单调递增，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先求导，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.

（2）首先根据题意得到恒成立，令，得到，即，再分类讨论的范围证明在上单调递增即可.

（1）当时，，

所以，切点为，

所以切线方程为，即

（2）

所以

因为在上单调递增，则恒成立，

令，则，得

下面证当时，在上单调递增.

构造函数

当时，时，，时，

得在单调递减，在单调递增.

，即恒成立，

整理得：恒成立，

即：恒成立，所以在上单调递增.

当时，显然在上单调递增.

当时，时，，时，

得在单调递减，在单调递增.

，即：恒成立，

整理得：恒成立，

从而恒成立，所以在上单调递增.

综上，实数的取值范围为