Question

【题目】羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为；乙发球时，甲得分的概率为．

（Ⅰ）若，记“甲以赢一局”的概率为，试比较与的大小；

（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为，的值．

	甲得分	乙得分	总计
甲发球		50	100
乙发球	60		90
总计			190

①完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？

②已知在某局比中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战回合此局比赛结束，求的分布列与期望．

参考公式：，其中．

临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①列联表见解析，有；②分布列见解析，

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得前个回合里，甲赢下20个回合，输掉个回合，且最后一个回合必需获胜，从而得到，计算出和，做商比较，得到答案；

（Ⅱ）①根据题意，填写好列联表，计算出，做出判断；②由列联表得到和的值，得到可取的值，分别计算其概率，写出分布列，计算出期望.

（Ⅰ）∵甲以获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉个回合，且最后一个回合必需获胜

∴，

∴，

∵，

∴

（Ⅱ）①由甲发球的总计和乙得分，得到甲得分的数值为，

由乙发球的总计和甲得分，得到乙得分的数值为，

从而得到甲得分总计为，乙得分的总计为，

所以列联表如下：

	甲得分	乙得分	总计
甲发球	50	50	100
乙发球	60	30	90
总计	110	80	190

∵，∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”

②由列联表知，，

此局比赛结束，比分可能是，，，

∴

若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为，

∴，

若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，

其概率，

乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，

其概率，

∴，

若比分为，则，

∴的分布列为

	2	4	5

∴